Updated at 2021.4.27

Fourier Transform

푸리에 급수를 복기하면, 주기가 \(T = 2\pi/\omega\) 인 임의의 파동 \(f(t)\) 는 다음과 같은 무한 급수 형태로 나타낼 수 있다.

\begin{align}\blue{f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n \omega t + b_n \sin n \omega t)}\end{align}

\begin{align}a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T{f(t)dt}\end{align}

\begin{align}a_n = \frac{2}{T} \int_0^T{f(t)\cos n\omega t dt}\end{align}

\begin{align}b_n = \frac{2}{T} \int_0^T{f(t)\sin n\omega t dt}\end{align}

앞으로 다음 두 가지를 해볼 것이다.

• 사인과 코사인 함수를 하나로 합치기 (오일러 공식 활용)
• 주기가 없는 파동

푸리에 급수의 복소 표현

오일러 공식을 활용하면 지수함수와 삼각함수를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align}e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\end{align}

\begin{align}\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\end{align}

\begin{align}\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\end{align}

\(\sin\) 과 \(\cos\) 을 \(e\) 와 \(i\) 를 이용해서 하나로 묶어보자.

\begin{align}f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(A_n e^{in \omega t} + B_n e^{-in \omega t})\end{align}

\begin{align}A_n = \frac{1}{T} \int_0^T{f(t)e^{-in \omega t} dt}\end{align}

\begin{align}B_n = \frac{1}{T} \int_0^T{f(t)e^{in \omega t} dt}\end{align}

추가로 정리하면,

\begin{align}f(t) = \sum_{n=0}^{\infty}A_n e^{in \omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}B_n e^{-in \omega t}\end{align}

\begin{align}f(t) = \sum_{n=0}^{\infty}A_n e^{in \omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty}B_{(-n)} e^{in \omega t}\end{align}

그런데 \(B_{-n} = A_n = \frac{1}{2} (a_n - i b_n)\) 이므로,

위의 수식은 하나로 합칠 수 있다.

\begin{align}f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n e^{in \omega t}\end{align}

편의상 \(A_n = C_n\) 으로 이름을 바꾸면 최종적으로 지수함수로 표현된 푸리에 급수를 얻을 수 있다.

\begin{align}\red{f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in \omega t}}\end{align}

\begin{align}\red{C_n = \frac{1}{T} \int_0^T{f(t)e^{-in \omega t} dt}}\end{align}

수식이 매우 단순해 졌지만, 실제 파동에서 위의 계수 값(\(C_n\))을 쉽게 구하는 것은 기존 사인과 코사인으로 표현한 수식보다 더 힘들어 졌다. 수학이란 값을 구하는 계산을 위해서만 존재하는게 아니고, 무엇이 어떻게 되어있는가 하는 관계성을 찾아내고, 얼마나 간결하게 표시할 수 있는가도 의미가 있다.

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계산을 편리하게 하기 위해서가 아니라 관계성을 아름답게 나타내는 것이야말로 수학적인 것이다. (수학으로 배우는 파동의 법칙)

불연속 스펙트럼

위의 수식을 조금만 더 음미해 보자. \(f(t)\) 라는 것은 어떠한 파동이 시간의 함수로 주어진 것이다. 즉 시간(x축)에 복합 파동의 위치(y축)를 나타낸 그래프이다. \(C_n\) 은 주파수 \(f = 2\pi n \omega\) 인 단순파동의 진폭 (\(C_n\) 은 복소수이기 때문에 \(C_n\) 의 절대값)이다. 다시 말해 주파수(x축)에 따른 그 주파수에 해당하는 단순파동의 진폭(y축)의 그래프를 그릴 수 있게 된다.

이런 주파수와 진폭의 그래프는 주파수의 최소 간격이 \(2\pi\omega = 1/T\) 인 불연속(Discrete) 형태이다. 위에서 정의했던 \(f(t)=t \text{, } (-\pi < t < \pi)\) 를 주파수와 진폭 도메인으로 나타내 보자.

주기가 없는 파동으로 확장

주기가 없는 경우, 즉 \(T \to \infty\) 일 때로 위의 수식을 확장해 보자. 먼저 생각해 볼 것은 \(f \to 0\) 이 되면, 위의 불연속 스펙트럼에서 x축이 주파수의 정수배 간격으로 값들이 존재하는데, 기본 주파수가 무한소로 작아지기 때문에, 불연속이 연속으로 바뀐다. 따라서 연속 스펙트럼이 된다.

최대 공배수 주기에 대응하는 최소 주파수를 \(\Delta f\) 라고 하면, \(\omega = 2\pi \Delta f\) 로 치환할 수 있다.

\begin{align}f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{i 2\pi n \Delta f t}\end{align}

\begin{align}C_n = \frac{1}{T} \int_0^T{f(t)e^{-i 2\pi n \Delta f t} dt}\end{align}

적분 범위를 \([0,T]\) 에서 \([-T/2, T/2]\) 로 변경하고 \(\frac{1}{T} = \Delta f\) 로 치환하면,

\begin{align}C_n = \Delta f \int_{-T/2}^{T/2}{f(t)e^{-i 2\pi n \Delta f t} dt}\end{align}

이므로,

\begin{align}f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\Delta f \int_{-T/2}^{T/2}{f(s)e^{-i 2\pi n \Delta f s} ds}\right) e^{i 2\pi n \Delta f t}\end{align}

로 나타낼 수 있다. \(\Delta f \to 0\) 극한으로 보내면 \(\Delta f = df\) 로 쓸 수 있고, 무한급수를 적분으로 표현할 수 있으므로 \(C_n\) 은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align}C_n = df \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i 2\pi t n \times df} dt}\end{align}

따라서 최종적으로,

\begin{align}\red{f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(s)e^{-i 2\pi s f} ds}\right) e^{i 2\pi t f} df}\end{align}

주기가 없는 파동, 즉 주파수를 무한대인 파동으로 확장하니, 수식이 대칭적 형태 띄게 되었다. (\(f\) 주파수 vs. \(t\) 시간)

푸리에 변환

위의 수식을 두 개의 수식으로 나눌어 표현해 보자.

• 시간에 따른 파동 함수 \(f(t)\) 은 (푸리에 변환)

\begin{align}\red{f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}G(f) e^{i 2\pi f t} df}\end{align}

• 주파수에 따른 진폭 함수 \(G(f)\) 는 (푸리에 역변환)

\begin{align}\red{G(f) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i 2\pi f t} dt}}\end{align}

이 글의 맨 처음에 있는 푸리에 급수와 비교해 보자. 계수값을 구하는 \(C_n\) 에 있는 \(1/T\) 가 \(G(f)\) 에서는 없어 졌는데, 그것은 \(f(t)\) 를 적분화 시키면서 \(df\) 로 옮겨 간 것이다. 따라서 \(G(f)\) 는 파동의 계수값, 즉 정확히는 진폭을 의미하지 않는다. \(G(f)\) 는 파동이 시간축과 이루는 그래프에서의 면적을 의미한다.

파동의 면적이므로 주기가 다른 서로 다른 파동끼리 이 값을 비교하는 것은 아무 의미가 없다. 같은 파동이어도 관찰하는 주기를 얼마로 하느냐에 따라 절대값이 바뀌기 때문이다. 하지만 하나의 파동 내에서 어떤 주파수의 기본 파동들로 이루어 졌는지 상대 비교 할 수는 있다. 결론적으로 파동에 대한 연속스펙트럼에서의 절대값은 중요하지 않고, 스펙트럼의 형태가 의미가 있다. 즉 \(G(f)\) 를 통해서 진폭의 비율을 알 수 있고, 그 진폭의 비율만 알아도 원래의 파동을 이해하는데 충분하다.

파동의 불확정성

주기가 무한대인 파동을 계산하려면 파동을 무한 시간동안 관찰해야 한다. 그것을 불가능하기 때문에 적당한 시간 동안 관찰한 것을 외삽(Extrapolation) 등을 통해 추정할 수 밖에 없다.

즉, 우리는 파동 주기의 일부분만 보고 파동 전체의 특징을 알아낼 수 밖에 없다. 뭐든지 간단한 것에서 출발해야 한다. 진동하지 않는 파동을 가지고 생각해 보자.

\begin{align}f(t) = 1\end{align}

관찰 시간이 무한대일 때

수학적으로 이상적인 주파수 스펙트럼을 계산해 보자.

\begin{align}G(f) = \int_{-\infty}^{\infty}{1 \times e^{-i 2\pi f t} dt}\end{align}

계산 결과는 0일 때만 무한대의 값을 갖고, 0이 아닐 때는 값이 0인 아래와 같은 형태의 함수 (디랙 델타 함수)가 된다.

\begin{align}G(f) = \begin{cases}0 &\text{if } f \neq 0 \\ \infty &\text{if }f=0\end{cases}\end{align}

관찰 시간이 \(\Delta t\) 일때

실제로 관찰 시간이 유한한 경우 관찰 시간내에서는 1, 그 이외의 시간에서는 0이라고 가정 하자.

\begin{align}f(t) = \begin{cases}1 &\text{if } -\frac{\Delta t}{2} \le t \le \frac{\Delta t}{2} \\ 0 &\text{if } t \gt -\frac{\Delta t}{2} \text{ or } t \lt \frac{\Delta t}{2} \end{cases}\end{align}

따라서 푸리에 스펙트럼 함수는 아래와 같이 나타낼 수 있고,

\begin{align}G(f) = \int_{-\frac{\Delta t}{2}}^{\frac{\Delta t}{2}}{1 \times e^{-i 2\pi f t} dt}\end{align}

적분을 수행하여 정리하면,

\begin{align}\red{G(f) = \frac{\sin \pi f \Delta t}{\pi f \Delta t} \cdot \Delta t}\end{align}

위의 수식에서 \(f \to 0\) 인 경우를 생각해 보자. 주파수가 영으로 즉, 주기가 무한대이면 \(G(f) \to \Delta t\) 가 된다. 관찰시간 \(\Delta t = 1\) 와 \(\Delta t = 2\) 일 때의 \(G(f)\) 값을 아래 그래프에 나타내었다.

관찰 시간 \(\Delta t\) 를 증가시키면 폭은 줄어들고, \(f=0\) 일 때의 값은 점점 증가하여, \(f=0\) 일 때만 무한대의 값을 갖는 해(디랙 델타 함수)에 가까워지는 것을 알 수 있다.

즉, 관찰의 시간에 따라 파동의 성분을 정확히 분해할 수 있느냐가 달라진다. 이를 파동의 불확정성이라고 부른다.

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